Berapakah limit suatu fungsi

Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan salah satu konsep utama analisis matematika – limit fungsi: definisinya, serta berbagai solusi dengan contoh praktis.

Menentukan limit suatu fungsi

Batas fungsi – nilai di mana nilai fungsi ini cenderung ketika argumennya cenderung ke titik pembatas.

Batasi catatan:

• batasnya ditunjukkan oleh ikon lim;
• di bawahnya ditambahkan nilai apa yang cenderung dimiliki oleh argumen (variabel) fungsi. Biasanya ini x, tetapi tidak harus, misalnya:x→1″;
• kemudian fungsi itu sendiri ditambahkan di sebelah kanan, misalnya:

  

Dengan demikian, catatan akhir batas terlihat seperti ini (dalam kasus kami):

Dibaca seperti “batas fungsi karena x cenderung satu”.

x→ 1 – ini berarti bahwa "x" secara konsisten mengambil nilai yang mendekati kesatuan tanpa batas, tetapi tidak akan pernah bertepatan dengannya (tidak akan tercapai).

Batas keputusan

Dengan nomor tertentu

Mari selesaikan limit di atas. Untuk melakukan ini, cukup substitusikan unit ke dalam fungsi (karena x→1):

Jadi, untuk menyelesaikan limit, pertama-tama kita coba mensubstitusikan bilangan yang diberikan ke dalam fungsi di bawahnya (jika x cenderung ke bilangan tertentu).

Dengan tak terhingga

Dalam hal ini, argumen fungsi meningkat tak terhingga, yaitu, "X" cenderung tak terhingga (∞). Sebagai contoh:

If x→∞, maka fungsi yang diberikan cenderung minus tak terhingga (-∞), karena:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 dst.

Contoh lain yang lebih kompleks

Untuk mengatasi batas ini, juga, cukup tingkatkan nilainya x dan lihat "perilaku" fungsi dalam kasus ini.

• RSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Jadi, untuk "X"cenderung tak terhingga, fungsi x² +3x –6 tumbuh tanpa batas.

Dengan ketidakpastian (x cenderung tak terhingga)

Dalam hal ini, kita berbicara tentang limit, ketika fungsinya adalah pecahan, pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Di mana "X" cenderung tak terhingga.

Contoh: mari kita hitung limit di bawah ini.

Solusi

Ekspresi baik pembilang dan penyebut cenderung tak terhingga. Dapat diasumsikan bahwa dalam hal ini solusinya adalah sebagai berikut:

Namun, tidak semuanya begitu sederhana. Untuk menyelesaikan limit kita perlu melakukan hal berikut:

1. Temukan x ke kekuatan tertinggi untuk pembilang (dalam kasus kami, itu dua).

2. Demikian pula, kami mendefinisikan x pangkat tertinggi untuk penyebut (juga sama dengan dua).

3. Sekarang kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan x di tingkat senior. Dalam kasus kami, dalam kedua kasus – yang kedua, tetapi jika mereka berbeda, kami harus mengambil derajat tertinggi.

4. Pada hasil yang diperoleh, semua pecahan cenderung nol, oleh karena itu jawabannya adalah 1/2.

Dengan ketidakpastian (x cenderung ke angka tertentu)

Baik pembilang dan penyebutnya adalah polinomial, tetapi "X" cenderung ke angka tertentu, bukan hingga tak terhingga.

Dalam hal ini, kami menutup mata secara kondisional pada fakta bahwa penyebutnya adalah nol.

Contoh: Mari kita cari limit fungsi di bawah ini.

Solusi

1. Pertama, mari kita substitusikan angka 1 ke dalam fungsi, yang "X". Kami mendapatkan ketidakpastian dari bentuk yang kami pertimbangkan.

2. Selanjutnya, kita urai pembilang dan penyebutnya menjadi faktor-faktor. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan rumus perkalian yang disingkat, jika cocok, atau.

Dalam kasus kami, akar ekspresi dalam pembilang (2x² – 5x + 3 = 0) adalah angka 1 dan 1,5. Oleh karena itu, dapat direpresentasikan sebagai: 2(x-1)(x-1,5).

Penyebut (x-1) awalnya sederhana.

3. Kami mendapatkan batas yang dimodifikasi seperti itu:

4. Pecahan dapat dikurangi dengan (x-1):

5. Tetap hanya mengganti angka 1 dalam ekspresi yang diperoleh di bawah batas: