Mengekstrak akar bilangan kompleks

Dalam publikasi ini, kita akan melihat bagaimana Anda dapat mengambil akar dari bilangan kompleks, dan juga bagaimana hal ini dapat membantu dalam memecahkan persamaan kuadrat yang diskriminannya kurang dari nol.

Mengekstrak akar bilangan kompleks

Akar pangkat dua

Seperti yang kita ketahui, tidak mungkin untuk mengambil akar dari bilangan real negatif. Tetapi ketika datang ke bilangan kompleks, tindakan ini dapat dilakukan. Mari kita cari tahu.

Katakanlah kita punya nomor z = -9. Forum √-9 ada dua akar:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

Mari kita periksa hasil yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan z² = -9, tidak lupa itu i² = -1:

(-3i)² = (-3)² saya² = 9 (-1) = -9

(3i)² = 3² saya² = 9 (-1) = -9

Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa -3i и 3i adalah akar √-9.

Akar bilangan negatif biasanya ditulis seperti ini:

√-1 = ±saya

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i dan sebagainya

Akar ke pangkat n

Misalkan kita diberikan persamaan bentuk z = ⁿ√w… Memiliki n akar (z₀, Dari₁, Dari₂,…, z_n-1), yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus di bawah ini:

|w| adalah modul dari bilangan kompleks w;

φ – argumennya

k adalah parameter yang mengambil nilai: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Persamaan kuadrat dengan akar kompleks

Mengekstrak akar angka negatif mengubah ide uXNUMXbuXNUMXb yang biasa. Jika diskriminan (D) kurang dari nol, maka tidak mungkin ada akar-akar real, tetapi akar-akar tersebut dapat direpresentasikan sebagai bilangan kompleks.

Contoh

Ayo selesaikan persamaannya x² – 8x + 20 = 0.

Solusi

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, tetapi kita masih dapat mengambil akar dari diskriminan negatif:

√D =-16 = ±4i

Sekarang kita dapat menghitung akarnya:

x_1,2 = (-b ±D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4±2i.

Oleh karena itu, persamaan x² – 8x + 20 = 0 memiliki dua akar konjugasi kompleks:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i