Menaikkan bilangan kompleks menjadi kekuatan alami

Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan bagaimana bilangan kompleks dapat dipangkatkan (termasuk menggunakan rumus De Moivre). Materi teori disertai dengan contoh untuk pemahaman yang lebih baik.

Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat

Pertama, ingat bahwa bilangan kompleks memiliki bentuk umum: z = a + dua (bentuk aljabar).

Sekarang kita dapat melanjutkan langsung ke solusi masalah.

Nomor persegi

Kami dapat mewakili derajat sebagai produk dari faktor yang sama, dan kemudian menemukan produk mereka (sambil mengingat bahwa i² = -1).

z² = (a + dua)² = (a+bi)(a+bi)

Contoh 1:

z=3+5saya

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9+15i+15i+25i² = -16 + 30i

Anda juga dapat menggunakan, yaitu kuadrat dari jumlah:

z² = (a + dua)² = a² + 2 a bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Catatan: Dengan cara yang sama, jika perlu, dapat diperoleh rumus kuadrat selisih, pangkat tiga jumlah / selisih, dll.

derajat ke-n

Menaikkan bilangan kompleks z dalam bentuk n jauh lebih mudah jika direpresentasikan dalam bentuk trigonometri.

Ingatlah bahwa, secara umum, notasi angka terlihat seperti ini: z = |z| (cos + i sin ).

Untuk eksponensial, Anda dapat menggunakan rumus De Moivre (dinamai demikian setelah ahli matematika Inggris Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ (cos(nφ) + i sin(nφ))

Rumus diperoleh dengan menulis dalam bentuk trigonometri (modul dikalikan, dan argumen ditambahkan).

Contoh 2

Menaikkan bilangan kompleks z = 2 (cos 35° + i sin 35°) sampai derajat kedelapan.

Solusi

z⁸ = 2⁸ (cos(8 35°) + i sin(8 35°)) = 256 (cos 280 ° + i sin 280 °).