Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan apa itu metode Gaussian, mengapa itu diperlukan, dan apa prinsipnya. Kami juga akan mendemonstrasikan menggunakan contoh praktis bagaimana metode ini dapat diterapkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
Deskripsi metode Gauss
Metode Gauss adalah metode klasik eliminasi sekuensial variabel yang digunakan untuk memecahkan . Hal ini dinamai matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Tapi pertama-tama, mari kita ingat bahwa SLAU dapat:
- memiliki satu solusi tunggal;
- memiliki jumlah solusi yang tak terbatas;
- menjadi tidak kompatibel, yaitu tidak memiliki solusi.
Manfaat praktis
Metode Gauss adalah cara yang bagus untuk menyelesaikan SLAE yang mencakup lebih dari tiga persamaan linier, serta sistem yang tidak persegi.
Prinsip metode Gauss
Metode ini mencakup langkah-langkah berikut:
- lurus – matriks yang diperbesar yang sesuai dengan sistem persamaan, direduksi dengan cara di atas baris ke bentuk segitiga atas (bertingkat), yaitu di bawah diagonal utama harus hanya elemen yang sama dengan nol.
- kembali – dalam matriks yang dihasilkan, elemen di atas diagonal utama juga disetel ke nol (tampilan segitiga bawah).
Contoh solusi SLAE
Selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini dengan menggunakan metode Gauss.
Solusi
1. Untuk memulainya, kami menyajikan SLAE dalam bentuk matriks yang diperluas.
2. Sekarang tugas kita adalah mengatur ulang semua elemen di bawah diagonal utama. Tindakan lebih lanjut tergantung pada matriks spesifik, di bawah ini kami akan menjelaskan tindakan yang berlaku untuk kasus kami. Pertama, kami menukar baris, sehingga menempatkan elemen pertama mereka dalam urutan menaik.
3. Kurangi dari baris kedua dua kali yang pertama, dan dari yang ketiga – lipat tigakan yang pertama.
4. Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.
5. Kurangi baris kedua dari baris pertama, dan pada saat yang sama bagi baris ketiga dengan -10.
6. Tahap pertama selesai. Sekarang kita perlu mendapatkan elemen nol di atas diagonal utama. Untuk melakukan ini, kurangi yang ketiga dikalikan dengan 7 dari baris pertama, dan tambahkan yang ketiga dikalikan dengan 5 ke yang kedua.
7. Matriks diperluas akhir terlihat seperti ini:
8. Ini sesuai dengan sistem persamaan:
Jawaban: akar SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.