Konten
Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan definisi pangkat suatu matriks, serta metode yang dapat digunakan untuk menemukannya. Kami juga akan menganalisis contoh untuk menunjukkan penerapan teori dalam praktik.
Menentukan rank suatu matriks
Peringkat matriks adalah pangkat dari sistem baris atau kolomnya. Setiap matriks memiliki peringkat baris dan kolomnya, yang sama satu sama lain.
Peringkat sistem baris adalah jumlah maksimum baris bebas linier. Pangkat sistem kolom ditentukan dengan cara yang sama.
Catatan:
- Rank dari matriks nol (dilambangkan dengan simbol “θ“) dengan ukuran berapa pun adalah nol.
- Pangkat dari setiap vektor baris atau vektor kolom bukan nol sama dengan satu.
- Jika matriks dengan ukuran berapa pun mengandung setidaknya satu elemen yang tidak sama dengan nol, maka peringkatnya tidak kurang dari satu.
- Pangkat suatu matriks tidak lebih besar dari dimensi minimumnya.
- Transformasi dasar yang dilakukan pada matriks tidak mengubah peringkatnya.
Mencari rank suatu matriks
Metode Kecil Fringing
Rank suatu matriks sama dengan orde maksimum dari suatu bukan nol.
Algoritma adalah sebagai berikut: temukan anak di bawah umur dari urutan terendah ke tertinggi. Jika kecil nurutan th tidak sama dengan nol, dan semua berikutnya (n + 1) sama dengan 0, jadi pangkat matriksnya adalah n.
Contoh
Untuk membuatnya lebih jelas, mari kita ambil contoh praktis dan temukan peringkat matriksnya A di bawah ini, menggunakan metode membatasi anak di bawah umur.
Solusi
Kita berurusan dengan matriks 4 × 4, oleh karena itu, peringkatnya tidak boleh lebih tinggi dari 4. Juga, ada elemen bukan nol dalam matriks, yang berarti peringkatnya tidak kurang dari satu. Jadi mari kita mulai:
1. Mulai memeriksa anak di bawah umur orde kedua. Untuk memulainya, kami mengambil dua baris kolom pertama dan kedua.
Kecil sama dengan nol.
Oleh karena itu, kami beralih ke minor berikutnya (kolom pertama tetap ada, dan alih-alih yang kedua kami mengambil yang ketiga).
Minornya adalah 54≠0, jadi pangkat matriks setidaknya dua.
Catatan: Jika minor ini ternyata sama dengan nol, kami akan memeriksa lebih lanjut kombinasi berikut:
Jika diperlukan, pencacahan dapat dilanjutkan dengan cara yang sama dengan string:
- 1 dan 3;
- 1 dan 4;
- 2 dan 3;
- 2 dan 4;
- 3 dan 4.
Jika semua minor orde kedua sama dengan nol, maka pangkat matriks akan sama dengan satu.
2. Kami segera berhasil menemukan anak di bawah umur yang cocok untuk kami. Jadi mari kita lanjutkan ke anak di bawah umur dari urutan ketiga.
Untuk minor yang ditemukan dari urutan kedua, yang memberikan hasil bukan nol, kami menambahkan satu baris dan salah satu kolom yang disorot dengan warna hijau (kita mulai dari yang kedua).
Minor ternyata nol.
Oleh karena itu, kami mengubah kolom kedua menjadi yang keempat. Dan pada upaya kedua, kami berhasil menemukan minor yang tidak sama dengan nol, yang berarti peringkat matriks tidak boleh kurang dari 3.
Catatan: jika hasilnya ternyata nol lagi, alih-alih baris kedua, kami akan mengambil baris keempat lebih jauh dan melanjutkan pencarian untuk minor "baik".
3. Sekarang tinggal menentukan anak di bawah umur dari urutan keempat berdasarkan apa yang ditemukan sebelumnya. Dalam hal ini, ini adalah salah satu yang cocok dengan determinan matriks.
Kecil sama dengan 144≠0. Ini berarti pangkat matriks A sama dengan 4.
Reduksi matriks menjadi bentuk bertahap
Pangkat matriks langkah sama dengan jumlah baris bukan nolnya. Artinya, yang perlu kita lakukan hanyalah membawa matriks ke bentuk yang sesuai, misalnya, menggunakan , yang, seperti yang kami sebutkan di atas, tidak mengubah peringkatnya.
Contoh
Tentukan pangkat suatu matriks B di bawah. Kami tidak mengambil contoh yang terlalu rumit, karena tujuan utama kami hanyalah untuk mendemonstrasikan penerapan metode dalam praktik.
Solusi
1. Pertama, kurangi dua kali lipat pertama dari baris kedua.
2. Sekarang kurangi baris pertama dari baris ketiga, dikalikan empat.
Jadi, kami mendapatkan matriks langkah di mana jumlah baris bukan nol sama dengan dua, oleh karena itu peringkatnya juga sama dengan 2.