Teorema kecil Fermat

Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan salah satu teorema utama dalam teori bilangan bulat –  Teorema kecil Fermatdinamai matematikawan Prancis Pierre de Fermat. Kami juga akan menganalisis contoh pemecahan masalah untuk mengkonsolidasikan materi yang disajikan.

Pernyataan teorema

1. awal

If p adalah bilangan prima a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi pkemudian a^p-1 - 1 dibagi dengan p.

Secara resmi ditulis seperti ini: a^p-1 1 (melawan p).

Catatan: Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya habis dibagi XNUMX dan dirinya sendiri tanpa sisa.

Sebagai contoh:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• jumlah 15 dibagi dengan 5 tanpa sisa.

2. Alternatif

If p adalah bilangan prima, a sembarang bilangan bulat, maka a^p sebanding dengan a bentuk p.

a^p a (melawan p)

Sejarah penemuan bukti

Pierre de Fermat merumuskan teorema pada tahun 1640, tetapi tidak membuktikannya sendiri. Belakangan, ini dilakukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, seorang filsuf, ahli logika, matematikawan Jerman, dll. Diyakini bahwa ia sudah memiliki buktinya pada tahun 1683, meskipun tidak pernah dipublikasikan. Patut dicatat bahwa Leibniz menemukan teorema itu sendiri, tidak mengetahui bahwa itu telah dirumuskan sebelumnya.

The first proof of the theorem was published in 1736, and it belongs to the Swiss, German and mathematician and mechanic, Leonhard Euler. Fermat’s Little Theorem is a special case of Euler’s theorem.

Contoh masalah

Temukan sisa sebuah bilangan 2¹² on 12.

Solusi

Mari kita bayangkan sebuah angka 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 adalah bilangan prima, oleh karena itu, dengan teorema kecil Fermat kita dapatkan:

2¹¹ 2 (melawan 11).

Karenanya, 2⋅2¹¹ 4 (melawan 11).

Jadi nomornya 2¹² dibagi dengan 12 dengan sisa sama dengan 4.