Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan salah satu teorema klasik geometri affine – teorema Ceva, yang menerima nama seperti itu untuk menghormati insinyur Italia Giovanni Ceva. Kami juga akan menganalisis contoh pemecahan masalah untuk mengkonsolidasikan materi yang disajikan.
Pernyataan teorema
segitiga diberikan ABC, di mana setiap simpul terhubung ke titik di sisi yang berlawanan.
Dengan demikian, kita mendapatkan tiga segmen (A A', bb' и CC'), yang disebut cevian.
Segmen-segmen ini berpotongan pada satu titik jika dan hanya jika persamaan berikut berlaku:
|DAN'| |BUKAN'| |CB'| = |SM'| |MENGGESER'| |AB'|
Teorema juga dapat disajikan dalam bentuk ini (ditentukan dalam rasio berapa poin membagi sisi):
Teorema trigonometri Ceva
Catatan: semua sudut berorientasi.
Contoh masalah
segitiga diberikan ABC dengan titik-titik KE', B ' и VS ' di samping BC, AC и AB, masing-masing. Simpul segitiga terhubung ke titik-titik yang diberikan, dan segmen yang terbentuk melewati satu titik. Pada saat yang sama, poin KE' и B ' diambil pada titik tengah sisi-sisi yang berhadapan yang bersesuaian. Cari tahu dalam rasio berapa poinnya VS ' membagi sisi AB.
Solusi
Mari menggambar gambar sesuai dengan kondisi masalah. Untuk kenyamanan kami, kami mengadopsi notasi berikut:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Tetap hanya menyusun rasio segmen sesuai dengan teorema Ceva dan mengganti notasi yang diterima ke dalamnya:
Setelah mengurangi pecahan, kita mendapatkan:
Karenanya, AC' = C'B, yaitu titik VS ' membagi sisi AB setengah.
Oleh karena itu, dalam segitiga kami, segmen A A', bb' и CC' adalah median. Setelah memecahkan masalah, kami membuktikan bahwa mereka berpotongan pada satu titik (berlaku untuk segitiga apa pun).
Catatan: menggunakan teorema Ceva, seseorang dapat membuktikan bahwa dalam segitiga di satu titik, garis-bagi atau ketinggian juga berpotongan.